CFD 기초 : 1-D Diffusion + convection problem (1) - 수식유도 / 이산화기법 고찰

 

본 글 내용은 An Introduction to Computational Fluid Dynamics 2ed. (H K Versteeg and W Malalasekera) 내용을 참고하였습니다. 본문의 내용은 필자가 공부중인 내용으로 실제와 다르거나 틀린내용일 수 있습니다.

 

 

 

유체유동이 없는 경우 확산(diffusion)만 고려해도 되지만 대부분의 유체는 유동이 있으므로 대류(convection)의 영향까지 고려해야만 한다.

 

Eq 1. Transport equation

 

상단에 있는 적분형의 Transport equation (Eq. 1)을 다시한번 복습해보자.

 

우항에 첫번째 항인 확산항의 경우 grad(그래디언트)가 의미하듯 모든방향으로 물리량의 구배에 비례하여 물리량 분포에 영향을 미친다. (모든항 앞에 있는 적분기호*n은 가우스 발산정리에 의해 div(다이버전스)가 변형된 형태이며, 물리학적으로는 물질이 들어가고 나간 총합을 의미한다.)

 

좌항 두번째 항인 대류항의 경우에는 모든방향으로가 아닌, 특정방향만으로 영향을 받게 되어있다. (그래디언트가 없음 즉, 유동의 방향의 영향만을 받음)

 

이러한 중요한 차이는 후술할 것 인데, 중심차분을 이용하여 안정된 대류-확산 계산을 위하여 중심차분법을 사용할 경우 격자의 크기가 엄격하게 제한되어야 함을 알 수 있다. 따라서 중심차분법 보다 더 안정적인 조건에서 해석이 가능한 여러 이산화 기법을 소개한다.

 

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이산화 방정식 유도

 

소스항이 없을 때, 주어진 1-D 유동장 U에서 물리량φ의 정상상태 대류와 확산의 지배방정식은 하기한 Eq. 1과 같으며,

유동이 있을 때 연속방정식(Eq. 2) 또한 만족해야 한다.

 

Eq 1. Governe equation

 

Eq 2. Continuity equation

 

앞서 대류만있었던 예제에서의 Grid 좌표 기술방법을 그대로 채택하여 좌표를 나타내면 Fig. 1과 같다.

Fig 1. C.V around node P

 

https://cfd-hihi-123.tistory.com/14?category=906464 

CFD 응용 : FVM 방법을 적용한 편미분방정식 해결과정

 

수송방정식(Eq. 1)과 연속방정식(Eq. 2)을 검사체적에 대하여 적분하게 되면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다. (A는 면적이며 모든 node의 면적이 같다고 가정하여 모든항을 면적으로 나눠 다음 equation부터는 면적을 기입하지 않는다.)

 

Eq. 3

 

Eq. 4

격자 내에서 단위 면적당 대류 질량 플럭스 및 확산 전도도를 나타내기 위한 변수 F 및 D를 정의하는 것이 식의 간략화에 도움이 된다. (Eq. 5)

Eq .5

최종적으로 적분화된 대류-확산 방정식 (Eq. 6) 및 연속방정식 (Eq. 7)을 아래와 같이 나타낼 수 있다.

Eq. 6

Eq. 7

 

앞서 확산항만 고려했을 때의 이산화된 지배방정식 유도과정과는 다르게 유도 중간에 아직 차분법을 사용하지 않았다.

여러가지 차분법을 사용해보며 그 차이를 비교해보려고 한다.

 

차후 포스팅 (이산화기법 소개)에서 다루겠지만 「Eq. 1 에 좌항에 있는 φe와 φw(node 경계면의 물성값)를 어떻게 표현하는가」가 이산화 기법의 주요 이슈이다.

 

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이산화 기법에 대한 고찰

 

중심차분법을 사용하여 위의 예제를 직접 계산해보면 알겠지만, i) node수(격자의 수)가 적거나 ii) flow의 velocity가 빠른경우 수렴하지 않고 발산하는 위글(wiggles)현상을 보이게 된다. 이산화 기법이 수치미분의 정밀도를 저해할 수 있으므로 이러한 현상을 방지하기 위한 이산화 기법에 대한 심도있는 고찰이 필요로 하여진다.

 

i) 보존성

유한 개의 검사체적에 대하여 대류-확산 방정식을 적분하게 될 경우, 검사체적을 통과하는 물리량을 포함한 일련의 이산화 보존 방정식을 얻는다. 검사체적으로 유입되고 유출되는 플럭스는 일관된(consistent) 방법으로 표현되어야 한다. 즉, 유입되고 유출되는 플럭스가 특정 차분법에서 다양한 방식으로 표현이 될 수 있으면 전체적인 보존성은 만족되지 않는다. 상기한 중심차분법은 보존성을 해하지 않는다.

 

만족하지 않는 플럭스 보간 기법중 하나로 2차 보간(quadratic interpolation)이 있다.

 

 

Fig. 2

검사체적 2에 대해 1, 2, 3에 값을 근거로 한 2차보간, 검사체적 3에 대해 2, 3, 4에 값을 근거로 한 2차보간은 두 곡선은 서로 다를 수 있다. 따라서 검사체적 2의 동쪽면과 3의 서쪽면에서 계산한 플럭스 값은 동일해야하지만 동일하지 않을 수 있다. 따라서 이런 경우에 두 플럭스를 더했음에도 서로 상쇄되지 않을 경우 전체 보존은 만족되지 않는다. (QUICK이라고 불리는 2차보간법은 이러한 단점을 상쇄하는 2차보간이다.)

 

ii) 유계성

 

유계성이란, 반복적인 수치해법이 수렴하기 위한 충분조건중에 하나이다.

 

첫번째 요구 조건으로 경계범위에서 값이 한정되어야하며, (ex) 소스없는 경계온도가 100℃와 200℃ 사이의 정상열전도 문제에서 모든 내부온도는 그 사이여야만 한다.) 해당 조건을 포함하는 조건은 Eq. 8과 같다.

 

ap' :  소스텀을 제외한 중심절점 ap의 순수 계수

∑anb : 모든 이웃 절점 계수를 합한 값

 

즉, aw + ae - ap ≤ 0 이어야 한다. ( Ex. 100aw + 200ap + 100ae = 0 이라면 조건 만족)

(적어도 하나의 노드에서 (at one node at lest) 1보다 작아야 한다는 건, TDMA를 풀기위해 우항이 적어도 하나는 0이 아닌숫자가 존재하여햐 한다는 요건과 일맥상통하는 것으로 보임 - 추후 확인)

 

Eq. 8

두번째 요구 조건으로 이산화 방정식의 모든 계수들이 동일한 부호(통상 모두 양수)를 가져야한다는 것 이다. (물리적으로 한 node에서 물리량의 증가는 이외의 이웃 node에서의 물리량로 이어져야한다. ex) Aw Ap Ae의 계수가 각각 100 -100 100이라면 중앙점에서 물리량이 감소했는데 이웃점에서 물리량이 증가했기에 물리학적으로 맞지도 않을 뿐 더러 undershoots 또는 overshoots이 발생한다.)

 

iii) 수송성

 

유체유동의 수송성을 고려하기 위하여 무차원수인 Peclet수에 대해 먼저 알아야 한다.

대부분의 무차원수가 그렇듯 두가지 요소의 상대적 강도를 나타내기 위한 척도로 사용되며,

Peclet수는 대류와 확산의 상대적 강도를 나타낸다

 

Eq. 9

대류가 없는 순수 확산 (Pe → 0) : 순수 확산의 경우 유체는 정지하여 있고 φ의 분포는 node의 중심을 기점으로 동심원의 형태가 된다. 확산 과정이 모든방향으로 동일하게 퍼져나가기 때문이다. (확산항 내의 grad의 역할) - Fig. 3 (a)

 

확산이 없는 순수 대류 (Pe → ∞) : 순수 대류의 경우 Pe가 증가함에 따라 곡선의 형상이 타원형이 되어간다. Fig. 3 (b)에서 알 수 있듯 대류의 영향이 점점 커질수록 Node P는 하류인 E의 source보다 상류인 W의 source의 영향을 더욱 받게 된다. 대류의 영향이 거의 무한해지면 Node P는 하류소스의 영향을 전혀 받지 않고 상류소스에 완전히 지배된다.

 

Fig. 3

 

수송성으로 알려진 이러한 특성이 차분법에 잘 반영되느냐 또한 차분법의 정확도를 결정짓는 중요한 특성이다.