CFD 기초 : Energy conservaion equation (+ Momentum 식 간략화)

본 글 내용은 An Introduction to Computational Fluid Dynamics 2ed. (H K Versteeg and W Malalasekera) 내용을 참고하였습니다. 본문의 내용은 필자가 공부중인 내용으로 실제와 다르거나 틀린내용일 수 있습니다.

 

마찬가지로, 이번 유도 또한 보존관련 열역학 법칙인 열역학 제 1법칙으로 부터 시작한다.

 

열역학 1법칙은 상황에 다양하게 정의되는데 "총 열량과 행한 일의 합은 같다", "고립된 계의 총 내부에너지는 일정하다"등의 여러 방식으로 불린다. 본 포스팅을 위한 가장 유용한 방법으로 해당식을 표현하자면 "고립된 계에서 에너지는 어떠한 형태로든 소실되거나 발생하지 않는다"는 의미를 가지고 있다. 또한 정적비열과 정압비열을 사용하여 여러가지 유용한 표현식을 만들 수 있는 법칙이기도 하다.

 

앞 포스팅에서 다룬 좌항에 대한 상세한 유도는 생략한다.

마찬가지로 오일러 좌표계 관점에서 식을 유도할 것이다.

 

＃좌변 : Rate of increase of energy of fluid particle (Eq. 1)

Eq 1.

＃우변 : Net rate of heat added to fluid particle + Net rate of work done on fluid particle

 

앞서 열역학 1법칙에 대해 언급했던것과 같이 해당법칙은 "열"에 대한 보존 법칙이 아니라 "에너지"에 대한 보존 법칙이며 열역학에서 "에너지"는 크게 heat과 work로 나뉘게 된다. 자세한 내용은 뒤에서 다룬다.

 

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Work done by surface forces

 

에너지는 heat과 work로 나눈다고 언급했다. 그중에 work를 먼저 살펴보자면, rate of work는 모멘텀에서 부터 발생한다.(모멘텀에 대한 유도는 전 포스팅참조) 따라서 본 항은 전단력(점성)을 고려하지 않은 경우에는 사라지는 항이 된다. 앞 서 유도했던 Momentum Conservation Equation을 복습해보자. (Eq. 2)

Eq 2. surface forces acting in the x-direction

 

유도된 Eq. 2은 x-directional한 monentum이지만 Energy Equation은 모멘텀 equation과 같이 식이 나눠져있지 않기 때문에 y, z 방향 또한 고려해야 한다.  (Eq. 3, Eq. 4)

Eq 3. surface forces acting in the y-direction

 

Eq 4. surface forces acting in the z-direction

 

Eq. 2~4 을 모두 더하면 9개의 shear stress이외에 nomal stress항이 3개가 남게되는데 이 항들을 모아서 divergence 기호로 묶을 수 있다. (→Eq. 5) 12가지 항을 모두 모아 정리하면 Eq. 6와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

Eq 5. nomal stress 관련 항

Eq 6. total rate of work done on the fluid particle by surface stresses

 

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Energy flux due to heat conduction

 

 

이번에는 heat을 고려해보자.

 

Net rate of heat transfer to the fluid particle을 계산하기 위하여 Fig. 1 참조하여 Eq. 7과 같은 식을 세울 수 있다. Eq. 7은 x방향으로 출입하는 heat flux를 나타내었으며 같은방법으로 y, z방향의 heat flux도 유도할 수 있다. (Eq. 8)

 

Fig 1. Components of the heat flux vector

Eq 7. rate of heat input (x-directional)

Eq 8. heat input (y, z-directional)

정방형 element 모든 방향 heat conduction과 연관된 세가지 식을 모두 더한 이후 총 부피(δxδyδz)로 나누게 될 시 식을 간략화 시킬 수 있다. (Eq. 9)

 

Eq 9. Total rate of heat divided by volume

Local temperature gradient에 의한 열 전도를 묘사하는 Fourier's law를 이용하여 식을 더욱 간략화 할 수 있다. (Eq. 10)

Eq 10. Fourier's law

푸리에 법칙은 vector form으로 나타낼 수 있으며, (Eq. 11)

Eq 11. Fourier's law (vector form)

이 식을 Eq. 9에 대입할 시 최종형태를 얻을 수 있다. (Eq. 12)

Eq 12. Rate of heat addition to the fluid particle due to heat conduction

 

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Energy Equation (Non-Newtonian Fluid)

 

 

상기 유도한 식들을 모두 합치면 에너지 Equation을 얻을 수 있다. (Eq. 1 + Eq. 6 + Eq. 12)

 

Eq 13. Energy Equation

단, E는 내부에너지(internal energy)와 키네틱에너지(kinetic energy)로 이루어져있다. → E = i + 1/2 * (u^2 + v^2 + w^2) 비록 Eq. 13이 에너지식으로 최종형태를 띄고있긴 하지만 일반적으로 유체역학에서는 internal energy (i) 또는 온도 (T)로 이루어진 식이 더 활용도 높기 때문에 일렬의 과정을 거쳐 아래의 식(Eq 14 ~ Eq 15)으로 변경할 수 있다. (본문에서는 서술하지 않는다.)

Eq 14. Energy Equation (Temperature)

Eq 15. Energy Equation (enthalpy)

 

Viscous stress는 명확하게 알려져있지 않은 경우가 많기 때문에, visous stress를 적절하게 local deformation rate로 대체하여 식을 더 유용하게 바꿀 수 있다. (고체역학에서 deformation의 정도를 알면 stress를 알 수 있는 것과 비슷한 원리, 스트레스 = 변형률 / 원래길이) 단, 항상 성립하는건 아니고 gas나 liquids가 isotropic하다는 가정을 추가해야만 아래의 공식이 성립한다고 할 수있다. 흔히 접할 수 있는 대부분의 유체와 기체는 isotropic하기 때문에 대부분의 경우에 해당한다고 볼 수 있다. 변형률은 sij로 표현한다. (i=j일경우 힘의방향과 변형방향이 같은 nomal stress, 그렇지 않은경우 shear stress)

 

Eq. 16 rate of nomal defoamtion

Eq 17. rate of shear deformation

 

Newtonian fluid의 정의는 viscous stresses에 따른 변형률이 비례관계를 띄고있다는점. 이를 통해 두가지 상수를 사용하여 비례관계를 나타낼 수가 있는데 하나의 상수는 dynamic viscousity(μ) 나머지 하나의 상수는 viscousity(λ)가 될 것이다. 비례관계에 따른 식을 살펴보자면,

 

Eq 18. nine viscous stress components

 

 

 

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Momentum Equation (Newtonian fluid)

 

잠깐 기회가 생겼으니 앞 포스팅에 다뤘던 Momentum equation을 간단화 할 수 있는 방법에 대해 다시 한번 살펴보자.

이전포스팅인 모멘텀 방정식 유도의 Eq. 2~4에 Eq. 18식들을 대입하게 되면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

(단, λ = − 2/3μ라고 누군가가 얻어놓았으므로, 이를 통해서 더욱 식을 간략화 할 수 있다.)

Eq 19~21. Navier-Stokes Equation

 

 

이 식을 다시한번 수식기호를 이용하여 간결하게 정리하면, 짠! 의도한건 아니었지만 Newtonian fluid의 가정을 통하여 전 포스팅에서 유도한 momentum equation이 더 간결해진것을 확인할 수 있다.

Eq. 22~24.Navier-Stokes Equation

 

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Energy Equation (Newtonian fluid)

 

최종 에너지 나비에스토크 에너지 Equation은 Eq. 25와 같이 정리되며, (위 식을 식 Eq. 13에 대입하여 얻는방식으로 계산된다. 본 포스팅에서는 다루지 않는다).

 

Eq 25. Energy conservation equation

 

internal energy equation 내 점성에 의한 효과를 나타내는 dissipation funcion (Φ)은 Eq. 26과 같이 정리되었다. 이로서 전단응력을 모르고 local decomposition만 알아도 점성효과를 계산할 수 있으며, 내부에너지를 모르고 온도의 함수만으로 상태량을 추측할 수 있는 가장 효용성있는 (Eq. 25) 나비에-스토크스 방정식이 완성되었다.

 

unsteady term = convection term + diffusion term + source term

 

Eq 26. dissipation function