CFD 기초 : Momentum Conservation Equation

본 글 내용은 An Introduction to Computational Fluid Dynamics 2ed. (H K Versteeg and W Malalasekera) 내용을 참고하였습니다. 본문의 내용은 필자가 공부중인 내용으로 실제와 다르거나 틀린내용일 수 있습니다.

 

 

Mass conservation과 같이 Momentum conservation 식 또한 기본적인 원리에서 유도된다.

뉴턴의 두번째 법칙 : the rate of change of momentum of a fluid particle equals the sum of the forces on the particle

 

좌항을 유도하는 과정은 이전 포스팅에서 다뤘을 뿐 더러, Mass conservation equation 유도와 상이한점이 크게 없으므로 본 게시물에서는 다루지 않겠다.

 

 

Fig 1. 뉴턴 2법칙

즉, rates of increase of x-, y- and z-momentum은 다음과 같이 표현 된다. (Fig 2)

Fig 2. Rate of increase of momentum

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우항 (Sum of forces on fluid particle)

 

 

Fluid particles에서 forces는 2가지 타입으로 크게 나눌 수 있다. (Fig 3)

Fig 3. Two types of forces on fluid particles

모멘텀 방정식에서 surface forces와 같은 기여도가 높은항을 별도의 항으로 강조하고, 이외의 body forces는 source terms으로 표현하는 방식이 일반적인 방법이다.

 

Surface force : 유체소자의 응력은 압력 및 9개의 점성응력 성분으로 정의된다. (Fig 4) 압력 및 normals stress는 p로 표현되며, 점성은력은 τ로 표현된다. i와 j같은 하첨자는 stress의 방향을 나타내며 ij와 같은 하첨자는 i-방향에 수직은 j방향으로 작용함을 나타낸다.

 

Fig 4. Stress components on three faces of fluid element

 

x-방향만의 shear stress에 nomal stress를 추가하여 나타내면 Fig. 5와 같으며 이를 우측방향(positive) 및 좌측방향(negative)로 더하여 상쇄시키면 Eq. 1을 얻을 수 있다. (δxδyδz로 나누어 단위볼륨당 힘을 구한다.)

 

Fig 5. x-directional stress

Eq 1. total force for unit volume

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최종식

 

 

이제 모든 좌항 및 우항에 들어갈 모든 component를 얻었으니, Source term만을 추가하여 식으로 나타내면 아래와 같다. (Eq. 2) 같은 방법으로 y와 z방향 모멘텀 방정식 또한 쉽게 얻을 수 있다.

 

Eq. 2 x-component of the momentum equation

Eq. 3 y-component of the momentum equation

Eq 4. z-component of the momentum equation

 

중력을 모델링에 포함하고 싶을 때는 소스텀에 body force를 추가하면 된다. (SMx = 0, SMy = 0 and SMz = −ρg)

 

참고로, 다음 포스팅에서 Energy Equation을 유도할 것 인데 Newtonian fluid를 가정하면 Momentum equation을 더 간결하게 만들 수 있다. Newtonian fluid란? 전단력과 변형률이 비례관계를 가지는 유체를 의미한다.

 

Newtonian fluid로 가정할 경우 Eq. 2~4와 같이 share stress 및 nomal stress로 나타낼 필요가 없고 변형량으로 나타낼 수가 있다. 대부분의 상황에서 shear stress를 식 내에 쓰는 것은 간결하고 효율적이지 못하기 때문에 shear stress쓰는 것을 자제하고 전단 변형률을 넣어서 식을 다루려고 한다. 이에 대해서는 다음포스팅 참고.

 

Fig 6. Definition of Newtonian fluid

 

 

본 글 내용은 An Introduction to Computational Fluid Dynamics 2ed. (H K Versteeg and W Malalasekera) 내용을 참고하였습니다. 본문의 내용은 필자가 공부중인 내용으로 실제와 다르거나 틀린내용일 수 있습니다.

본 글 내용은 An Introduction to Computational Fluid Dynamics 2ed. (H K Versteeg and W Malalasekera) 내용을 참고하였습니다.
본문의 내용은 필자가 공부중인 내용으로 실제와 다르거나 틀린내용일 수 있습니다.