CFD 기초 : Mass conservaion equation

세상복잡한 모든 Equation이 그렇듯, Mass conservation 식의 유도 또한 가장 기본적인 법칙으로부터 시작한다.

 

Fig 1. mass balance for the fluid element

 

질량보존의 법칙의 기본적인 형태 : Element 내부에서의 (시간에 따른) 물질변화량 = Element 외부를 드나드는 물질의 변화량 는 물질의 총량은 일정하다는 의미를 함축하고 있다. 우항을 좌항으로 이항시켜 전개하면 결국

 

Element 내부의 물질변화량 - Element 외부를 드나드는 물질의 변화량 = 0

 

특정 element를 Control volume으로 잡았을 때, mass sink 또는 mass source가 없다면 물질의 총량을 변하지 않는다는 의미의 방정식이 된다.

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좌변 (Rate of increase of mass in fluid element)

 

상단의 식의 좌변, 즉 시간에 따라 외부질량의 입출입 없이 element내에서 mass의 변화하는량을 식으로 모사하면 아래와 같은 식으로 표현이 가능하다.

 

 

Eq 1. Rate of increase of mass in the fluid element

δ라는 한변의 길이를 가진 정방형(혹은 육면체의) element가 있다고 가정할 때 (dimesion은 부피),

해당 부피에서 시간에 따른 밀도변화(∂ρ/∂t)를 곱하여 그 변화율을 얻는다고 생각하면 보다 위 식을 직관적으로 이해가 가능하다. (단위만 계산할 시 kg/s으로 떨어지는 것을 알 수 있다.)

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우변 (Net rate of  flow of mass into fluid element)

 

마찬가지로 외부로 질량의 입출입으로 인해 야기되는 총 질량의 변화는 아래와 같이 표현 가능하다.

 

Eq 2. Net rate of flow of mass into the element across.

질량이 입출입 할 수 있는 boundary는 총 6면으로 1/2을 곱하여 나타내었으며(Fig. 2 참조),

1/2을 곱하지 않고 3개의 항의 influx 또는 outflux로만 나타낼 수도 있다.

 

Fig 2. Mass flows in and out of fluid element

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좌변 / 우변 연립

 

이제 Eq. 1과 Eq. 2를 연립하여 하나의 식으로 합친이후 δxδyδz으로 나누게 된다면,

아래와 같은 식으로 표현이 가능하다. (Unsteady, three-dimensional, compressible fluid)

 

Eq 3. Mass conservation eqation (basis form)

Eq 4. Mass conservation Equation (vector notation)

 

 

Incompressible fluid의 경우에는 밀도가 상수가 되므로 (ρ = constant) 아래 식이 된다.

(이상기체유동에도 마하<0.3의 상대적으로 느린 유동에서는 compressible flow가 큰 의미가 없으므로

대개 incompressible을 선택한다.)

 

Eq 5. Mass conservation equation (incompressible)

Eq 6. vector notation foam

 

Element 내부의 물질변화량 - Element 외부를 드나드는 물질의 변화량 = 0